Calculator ng Quadratic Equation
Lutasin ang mga quadratic equation na ax² + bx + c = 0 na may detalyadong step-by-step na mga solusyon at graphical na pagsusuri
Paano Gamitin ang Calculator ng Quadratic Equation
- Ilagay ang mga coefficient na a, b, at c para sa iyong quadratic equation na ax² + bx + c = 0
- Tandaan na ang coefficient 'a' ay hindi maaaring maging zero (kung hindi, hindi ito quadratic)
- Gamitin ang mga pindutan ng halimbawa upang subukan ang iba't ibang uri ng quadratic equation
- Tingnan ang live na display ng equation upang makita ang iyong equation na naka-format nang maayos
- Suriin ang discriminant upang maunawaan kung anong uri ng mga solusyon ang aasahan
- Suriin ang step-by-step na solusyon upang maunawaan ang proseso ng paglutas
- Suriin ang vertex at axis of symmetry para sa graphical na pag-unawa
Pag-unawa sa mga Quadratic Equation
Ang isang quadratic equation ay isang polynomial equation na may degree na 2, na nakasulat sa standard form na ax² + bx + c = 0, kung saan ang a ≠ 0.
Coefficient 'a'
Ang coefficient ng x². Tinutukoy kung ang parabola ay nagbubukas pataas (a > 0) o pababa (a < 0).
Importance: Hindi maaaring maging zero. Ang mas malaking |a| ay ginagawang mas makitid ang parabola.
Coefficient 'b'
Ang coefficient ng x. Nakakaapekto sa pahalang na posisyon ng vertex at axis of symmetry.
Importance: Maaaring maging zero. Kasama ng 'a', tinutukoy nito ang x-coordinate ng vertex: x = -b/(2a).
Coefficient 'c'
Ang constant term. Kinakatawan ang y-intercept ng parabola (kung saan ito tumatawid sa y-axis).
Importance: Maaaring maging zero. Ang punto (0, c) ay kung saan ang parabola ay nag-i-intersect sa y-axis.
Ang Quadratic Formula
Ang quadratic formula ay isang unibersal na paraan para sa paglutas ng anumang quadratic equation na ax² + bx + c = 0.
Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Discriminant: Δ = b² - 4ac
Ang discriminant (Δ) ay tumutukoy sa kalikasan at bilang ng mga solusyon
-b
Negatibo ng coefficient b
Purpose: Sinesentro ang mga solusyon sa paligid ng axis of symmetry
±√Δ
Plus/minus ang square root ng discriminant
Purpose: Tinutukoy kung gaano kalayo ang mga solusyon mula sa gitna
2a
Doble ng leading coefficient
Purpose: Nag-i-scale ng mga solusyon batay sa lapad ng parabola
Pag-unawa sa Discriminant
Ang discriminant Δ = b² - 4ac ay nagsasabi sa atin tungkol sa kalikasan ng mga solusyon bago natin ito kalkulahin.
Δ > 0
Resulta: Dalawang magkaibang real na solusyon
Ang parabola ay tumatawid sa x-axis sa dalawang punto. Ang mga solusyon ay mga real number.
Halimbawa: Ang x² - 5x + 6 = 0 ay may Δ = 25 - 24 = 1 > 0, kaya mayroong dalawang real na solusyon.
Sa grapiko: Ang parabola ay nag-i-intersect sa x-axis nang dalawang beses
Δ = 0
Resulta: Isang umuulit na real na solusyon
Ang parabola ay dumadampi sa x-axis sa eksaktong isang punto (vertex sa x-axis).
Halimbawa: Ang x² - 4x + 4 = 0 ay may Δ = 16 - 16 = 0, kaya isang umuulit na solusyon x = 2.
Sa grapiko: Ang parabola ay dumadampi sa x-axis sa vertex
Δ < 0
Resulta: Dalawang complex na solusyon
Ang parabola ay hindi tumatawid sa x-axis. Ang mga solusyon ay nagsasangkot ng mga imaginary number.
Halimbawa: Ang x² + 2x + 5 = 0 ay may Δ = 4 - 20 = -16 < 0, kaya mayroong mga complex na solusyon.
Sa grapiko: Ang parabola ay hindi nag-i-intersect sa x-axis
Mga Paraan sa Paglutas ng mga Quadratic Equation
Quadratic Formula
Kailan gagamitin: Laging gumagana para sa anumang quadratic equation
Mga Hakbang:
- Kilalanin ang a, b, c
- Kalkulahin ang discriminant Δ = b² - 4ac
- Ilapat ang formula x = (-b ± √Δ)/(2a)
Mga Bentahe: Unibersal na paraan, ipinapakita ang discriminant
Mga Disbentahe: Maaaring may kasamang kumplikadong aritmetika
Factoring
Kailan gagamitin: Kapag madaling i-factor ang equation
Mga Hakbang:
- I-factor ang ax² + bx + c sa (px + q)(rx + s)
- I-set ang bawat factor sa zero
- Lutasin ang px + q = 0 at rx + s = 0
Mga Bentahe: Mabilis kapag halata ang factoring
Mga Disbentahe: Hindi lahat ng quadratics ay madaling i-factor
Completing the Square
Kailan gagamitin: Kapag nagko-convert sa vertex form o sa pag-derive ng quadratic formula
Mga Hakbang:
- Ayusin sa x² + (b/a)x = -c/a
- Idagdag ang (b/2a)² sa magkabilang panig
- I-factor ang kaliwang panig bilang perpektong square
Mga Bentahe: Ipinapakita ang vertex form, mabuti para sa pag-unawa
Mga Disbentahe: Mas maraming hakbang kaysa sa quadratic formula
Graphing
Kailan gagamitin: Para sa visual na pag-unawa o tinatayang mga solusyon
Mga Hakbang:
- I-plot ang parabola y = ax² + bx + c
- Hanapin ang mga x-intercept kung saan y = 0
- Basahin ang mga solusyon mula sa graph
Mga Bentahe: Visual, ipinapakita ang lahat ng katangian
Mga Disbentahe: Maaaring hindi magbigay ng eksaktong mga halaga
Mga Real-World na Aplikasyon ng mga Quadratic Equation
Physics - Projectile Motion
Ang taas ng mga itinapong bagay ay sumusunod sa mga quadratic equation
Equation: h(t) = -16t² + v₀t + h₀
Mga Variable: h = taas, t = oras, v₀ = paunang bilis, h₀ = paunang taas
Problema: Kailan tatama sa lupa ang projectile? (lutasin para sa t kapag h = 0)
Business - Profit Optimization
Ang kita at tubo ay madalas na sumusunod sa mga quadratic model
Equation: P(x) = -ax² + bx - c
Mga Variable: P = tubo, x = dami na naibenta, ang mga coefficient ay depende sa mga gastos
Problema: Hanapin ang dami na nag-maximize ng tubo (vertex ng parabola)
Engineering - Bridge Design
Ang mga parabolic arch ay mahusay na namamahagi ng bigat
Equation: y = ax² + bx + c
Mga Variable: Inilalarawan ang kurba ng mga cable ng suspension bridge
Problema: Idisenyo ang hugis ng cable para sa optimal na pamamahagi ng load
Agriculture - Area Optimization
Pag-maximize ng area na may nakapirming perimeter
Equation: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x
Mga Variable: A = area, x = lapad, P = magagamit na bakod
Problema: Hanapin ang mga sukat na nag-maximize ng nakapaloob na area
Technology - Signal Processing
Mga quadratic equation sa mga digital filter at disenyo ng antenna
Equation: Iba't ibang anyo depende sa aplikasyon
Mga Variable: Frequency response, lakas ng signal, timing
Problema: I-optimize ang kalidad ng signal at i-minimize ang interference
Medicine - Drug Concentration
Mga antas ng gamot sa daluyan ng dugo sa paglipas ng panahon
Equation: C(t) = -at² + bt + c
Mga Variable: C = konsentrasyon, t = oras pagkatapos ng administrasyon
Problema: Tukuyin ang optimal na mga agwat ng dosis
Mga Karaniwang Pagkakamali sa Paglutas ng mga Quadratics
PAGKAKAMALI: Nakalimutan ang ± sa quadratic formula
Problema: Isang solusyon lang ang natagpuan gayong mayroong dalawa
Solusyon: Laging isama ang parehong + at - kapag ang discriminant > 0
Halimbawa: Para sa x² - 5x + 6 = 0, parehong x = 2 at x = 3 ang mga solusyon
PAGKAKAMALI: Pag-set ng a = 0
Problema: Ang equation ay nagiging linear, hindi quadratic
Solusyon: Tiyaking ang coefficient ng x² ay non-zero para sa mga quadratic equation
Halimbawa: Ang 0x² + 3x + 2 = 0 ay sa katunayan 3x + 2 = 0, isang linear equation
PAGKAKAMALI: Mga pagkakamali sa aritmetika sa mga negatibong numero
Problema: Mga error sa sign kapag kinakalkula ang discriminant o inilalapat ang formula
Solusyon: Maingat na subaybayan ang mga negatibong sign, lalo na sa b² at -4ac
Halimbawa: Para sa x² - 6x + 9, ang discriminant ay (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
PAGKAKAMALI: Maling interpretasyon ng mga complex na solusyon
Problema: Iniisip na walang solusyon ang equation kapag ang discriminant < 0
Solusyon: Ang mga complex na solusyon ay wasto sa matematika, hindi lang sila mga real number
Halimbawa: Ang x² + 1 = 0 ay may mga solusyon na x = ±i, na mga complex number
PAGKAKAMALI: Maling pagkakasunud-sunod ng mga operasyon
Problema: Maling pagkalkula ng discriminant
Solusyon: Tandaan ang b² - 4ac: i-square muna ang b, pagkatapos ay ibawas ang 4ac
Halimbawa: Para sa 2x² + 3x + 1, ang discriminant ay 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
PAGKAKAMALI: Masyadong maagang pag-round off
Problema: Naipon na mga error sa pag-round off sa mga multi-step na kalkulasyon
Solusyon: Panatilihin ang buong precision hanggang sa huling sagot, pagkatapos ay i-round nang naaangkop
Halimbawa: Gamitin ang buong halaga ng discriminant sa quadratic formula, hindi ang na-round off na bersyon
Mga Espesyal na Kaso at Pattern
Perfect Square Trinomials
Porma: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²
Halimbawa: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
Solusyon: Isang umuulit na root: x = 3
Pagkilala: Ang discriminant ay katumbas ng zero
Difference of Squares
Porma: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)
Halimbawa: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)
Solusyon: Dalawang magkasalungat na root: x = ±4
Pagkilala: Walang linear term (b = 0), negatibong constant
Nawawalang Linear Term
Porma: ax² + c = 0
Halimbawa: 2x² - 8 = 0
Solusyon: x² = 4, kaya x = ±2
Pagkilala: Ang x² at constant terms lang ang naroroon
Nawawalang Constant Term
Porma: ax² + bx = 0 = x(ax + b)
Halimbawa: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)
Solusyon: x = 0 o x = 2
Pagkilala: I-factor out muna ang x
FAQ tungkol sa Quadratic Equation
Ano ang nagiging sanhi para maging quadratic ang isang equation?
Ang isang equation ay quadratic kung ang pinakamataas na power ng variable ay 2, at ang coefficient ng x² ay hindi zero. Dapat ito ay nasa form na ax² + bx + c = 0.
Maaari bang walang solusyon ang isang quadratic equation?
Ang mga quadratic equation ay laging may eksaktong 2 solusyon, ngunit maaaring ito ay mga complex number kapag ang discriminant ay negatibo. Sa mga real number, walang solusyon kapag Δ < 0.
Bakit minsan nakakakuha tayo ng isang solusyon sa halip na dalawa?
Kapag ang discriminant = 0, nakakakuha tayo ng isang umuulit na solusyon (tinatawag na double root). Sa matematika, ito ay dalawang solusyon pa rin na nagkataong magkapareho.
Ano ang sinasabi sa atin ng discriminant?
Ang discriminant (b² - 4ac) ay tumutukoy sa mga uri ng solusyon: positibo = dalawang real na solusyon, zero = isang umuulit na solusyon, negatibo = dalawang complex na solusyon.
Paano ko malalaman kung aling paraan ang gagamitin?
Ang quadratic formula ay laging gumagana. Gamitin ang factoring kung madaling i-factor ang equation. Gamitin ang completing the square para sa pag-unawa o pag-convert sa vertex form.
Paano kung ang aking coefficient 'a' ay negatibo?
Walang problema! Ang quadratic formula ay humahawak ng mga negatibong coefficient. Mag-ingat lang sa mga sign kapag kinakalkula ang discriminant at inilalapat ang formula.
Maaari ba akong maglutas ng mga quadratics nang walang quadratic formula?
Oo! Maaari kang mag-factor (kung posible), mag-complete the square, o mag-graph. Gayunpaman, ang quadratic formula ang pinaka-maaasahang unibersal na paraan.
Para saan ginagamit ang mga complex na solusyon?
Ang mga complex na solusyon ay lumalabas sa engineering, physics, at advanced mathematics. Kinakatawan nila ang mga mahalagang ugnayan sa matematika kahit na hindi sila 'real' sa pang-araw-araw na kahulugan.
Kumpletong Direktoryo ng mga Tool
Lahat ng 71 na tool na magagamit sa UNITS