இருபடிச் சமன்பாட்டுக் கால்குலேட்டர்

ax² + bx + c = 0 இருபடிச் சமன்பாடுகளை விரிவான படிப்படியான தீர்வுகள் மற்றும் வரைபட பகுப்பாய்வுடன் தீர்க்கவும்

இருபடிச் சமன்பாட்டுக் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துவது எப்படி

  1. உங்கள் இருபடிச் சமன்பாடு ax² + bx + c = 0 க்கான கெழுக்கள் a, b மற்றும் c ஐ உள்ளிடவும்
  2. கெழுக் 'a' பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (இல்லையெனில் அது இருபடிச் சமன்பாடு அல்ல)
  3. பல்வேறு வகையான இருபடிச் சமன்பாடுகளை முயற்சிக்க எடுத்துக்காட்டு பொத்தான்களைப் பயன்படுத்தவும்
  4. உங்கள் சமன்பாட்டை சரியாக வடிவமைக்கப்பட்டிருப்பதைக் காண நேரடிச் சமன்பாட்டுக் காட்சியைக் காணவும்
  5. எந்த வகையான தீர்வுகளை எதிர்பார்க்கலாம் என்பதைப் புரிந்துகொள்ள பண்புகாட்டியைச் சரிபார்க்கவும்
  6. தீர்க்கும் செயல்முறையைப் புரிந்துகொள்ள படிப்படியான தீர்வை மதிப்பாய்வு செய்யவும்
  7. வரைபட புரிதலுக்காக உச்சி மற்றும் சமச்சீர் அச்சைப் ஆராயவும்

இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு என்பது படி 2 கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு ஆகும், இது ax² + bx + c = 0 என்ற நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, இங்கு a ≠ 0.

கெழுக் 'a'

x² இன் கெழுக். பரவளையம் மேல்நோக்கித் திறக்குமா (a > 0) அல்லது கீழ்நோக்கித் திறக்குமா (a < 0) என்பதைத் தீர்மானிக்கிறது.

Importance: பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. பெரிய |a| பரவளையத்தை குறுகலாக்குகிறது.

கெழுக் 'b'

x இன் கெழுக். உச்சி மற்றும் சமச்சீர் அச்சின் கிடைமட்ட நிலையைப் பாதிக்கிறது.

Importance: பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். 'a' உடன் சேர்ந்து, உச்சியின் x-ஆயத்தொலைவை தீர்மானிக்கிறது: x = -b/(2a).

கெழுக் 'c'

மாறிலி உறுப்பு. பரவளையத்தின் y-இடைமறிப்பைக் குறிக்கிறது (அது y-அச்சைக் கடக்கும் இடம்).

Importance: பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். புள்ளி (0, c) என்பது பரவளையம் y-அச்சை வெட்டும் இடமாகும்.

இருபடிச் சூத்திரம்

இருபடிச் சூத்திரம் என்பது எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டையும் ax² + bx + c = 0 தீர்க்க ஒரு உலகளாவிய முறையாகும்.

Δ = b² - 4ac

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Discriminant: Δ = b² - 4ac

பண்புகாட்டி (Δ) தீர்வுகளின் தன்மை மற்றும் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கிறது

-b

கெழுக் b இன் எதிர்மறை

Purpose: தீர்வுகளை சமச்சீர் அச்சில் மையப்படுத்துகிறது

±√Δ

பண்புகாட்டியின் வர்க்கமூலத்தின் கூட்டல்/கழித்தல்

Purpose: தீர்கள் மையத்திலிருந்து எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கிறது

2a

முன்னணி கெழுவின் இருமடங்கு

Purpose: பரவளையத்தின் அகலத்தின் அடிப்படையில் தீர்வுகளை அளவிடுகிறது

பண்புகாட்டியைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

பண்புகாட்டி Δ = b² - 4ac தீர்வுகளைக் கணக்கிடுவதற்கு முன்பு அவற்றின் தன்மையைப் பற்றி நமக்குச் சொல்கிறது.

Δ > 0

முடிவு: இரண்டு வெவ்வேறு மெய்யான தீர்வுகள்

பரவளையம் x-அச்சை இரண்டு புள்ளிகளில் கடக்கிறது. தீர்வுகள் மெய்யான எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டு: x² - 5x + 6 = 0 க்கு Δ = 25 - 24 = 1 > 0 உள்ளது, எனவே இரண்டு மெய்யான தீர்வுகள் உள்ளன.

வரைபடமாக: பரவளையம் x-அச்சை இருமுறை வெட்டுகிறது

Δ = 0

முடிவு: ஒரு மீண்டும் வரும் மெய்யான தீர்வு

பரவளையம் x-அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடுகிறது (உச்சி x-அச்சில் உள்ளது).

எடுத்துக்காட்டு: x² - 4x + 4 = 0 க்கு Δ = 16 - 16 = 0 உள்ளது, எனவே ஒரு மீண்டும் வரும் தீர்வு x = 2.

வரைபடமாக: பரவளையம் x-அச்சை உச்சியில் தொடுகிறது

Δ < 0

முடிவு: இரண்டு சிக்கலான தீர்வுகள்

பரவளையம் x-அச்சைக் கடக்காது. தீர்வுகள் கற்பனை எண்களைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: x² + 2x + 5 = 0 க்கு Δ = 4 - 20 = -16 < 0 உள்ளது, எனவே சிக்கலான தீர்வுகள் உள்ளன.

வரைபடமாக: பரவளையம் x-அச்சை வெட்டாது

இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகள்

இருபடிச் சூத்திரம்

எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்: எந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கும் எப்போதும் வேலை செய்யும்

படிகள்:

  1. a, b, c ஐ அடையாளம் காணவும்
  2. பண்புகாட்டி Δ = b² - 4ac ஐக் கணக்கிடுங்கள்
  3. x = (-b ± √Δ)/(2a) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

நன்மைகள்: உலகளாவிய முறை, பண்புகாட்டியைக் காட்டுகிறது

குறைகள்: சிக்கலான எண்கணிதத்தைக் கொண்டிருக்கலாம்

காரணிப்படுத்துதல்

எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்: சமன்பாட்டை எளிதாகக் காரணிப்படுத்த முடிந்தால்

படிகள்:

  1. ax² + bx + c ஐ (px + q)(rx + s) ஆகக் காரணிப்படுத்தவும்
  2. ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமப்படுத்தவும்
  3. px + q = 0 மற்றும் rx + s = 0 ஐத் தீர்க்கவும்

நன்மைகள்: காரணிப்படுத்துதல் தெளிவாக இருக்கும்போது விரைவானது

குறைகள்: எல்லா இருபடிச் சமன்பாடுகளும் அழகாகக் காரணிப்படுத்தப்படுவதில்லை

வர்க்கப் பூர்த்தி செய்தல்

எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்: உச்சி வடிவத்திற்கு மாற்றும்போது அல்லது இருபடிச் சூத்திரத்தை வருவிக்கும்போது

படிகள்:

  1. x² + (b/a)x = -c/a என மறுசீரமைக்கவும்
  2. இருபுறமும் (b/2a)² ஐக் கூட்டவும்
  3. இடது பக்கத்தை முழு வர்க்கமாக காரணிப்படுத்தவும்

நன்மைகள்: உச்சி வடிவத்தைக் காட்டுகிறது, புரிதலுக்கு நல்லது

குறைகள்: இருபடிச் சூத்திரத்தை விட அதிகப் படிகள்

வரைபடம் வரைதல்

எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்: காட்சிப் புரிதலுக்காக அல்லது தோராயமான தீர்வுகளுக்காக

படிகள்:

  1. y = ax² + bx + c பரவளையத்தை வரையவும்
  2. y = 0 ஆக இருக்கும் x-இடைமறிப்புகளைக் கண்டறியவும்
  3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வுகளைப் படிக்கவும்

நன்மைகள்: காட்சி சார்ந்தது, அனைத்துப் பண்புகளையும் காட்டுகிறது

குறைகள்: சரியான மதிப்புகளைத் தராமல் போகலாம்

இருபடிச் சமன்பாடுகளின் நிஜ உலகப் பயன்பாடுகள்

இயற்பியல் - எறிபொருள் இயக்கம்

வீசப்பட்ட பொருட்களின் உயரம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பின்பற்றுகிறது

சமன்பாடு: h(t) = -16t² + v₀t + h₀

மாறிகள்: h = உயரம், t = நேரம், v₀ = ஆரம்பத் திசைவேகம், h₀ = ஆரம்ப உயரம்

சிக்கல்: எறிபொருள் எப்போது தரையைத் தாக்கும்? (h = 0 எனும்போது t க்காக தீர்க்கவும்)

வணிகம் - இலாப மேம்படுத்தல்

வருவாய் மற்றும் இலாபம் பெரும்பாலும் இருபடி மாதிரிகளைப் பின்பற்றுகின்றன

சமன்பாடு: P(x) = -ax² + bx - c

மாறிகள்: P = இலாபம், x = விற்கப்பட்ட அளவு, கெழுக்கள் செலவுகளைப் பொறுத்தது

சிக்கல்: இலாபத்தை அதிகப்படுத்தும் அளவைக் கண்டறியவும் (பரவளையத்தின் உச்சி)

பொறியியல் - பால வடிவமைப்பு

பரவளைய வளைவுகள் எடையைத் திறமையாகப் பரப்புகின்றன

சமன்பாடு: y = ax² + bx + c

மாறிகள்: தொங்கு பாலங்களின் வடங்களின் வளைவை விவரிக்கிறது

சிக்கல்: உகந்த சுமைப் பகிர்விற்காக வடத்தின் வடிவத்தை வடிவமைக்கவும்

வேளாண்மை - பரப்பளவு மேம்படுத்தல்

நிலையான சுற்றளவுடன் பரப்பளவை அதிகப்படுத்துதல்

சமன்பாடு: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x

மாறிகள்: A = பரப்பளவு, x = அகலம், P = கிடைக்கும் வேலி

சிக்கல்: சூழப்பட்ட பரப்பளவை அதிகப்படுத்தும் பரிமாணங்களைக் கண்டறியவும்

தொழில்நுட்பம் - சிக்னல் செயலாக்கம்

டிஜிட்டல் வடிகட்டிகள் மற்றும் ஆண்டெனா வடிவமைப்பில் இருபடிச் சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு: பயன்பாட்டைப் பொறுத்து பல்வேறு வடிவங்கள்

மாறிகள்: அதிர்வெண் பதில்வினை, சிக்னல் வலிமை, நேரம்

சிக்கல்: சிக்னல் தரத்தை மேம்படுத்தி, குறுக்கீட்டைக் குறைக்கவும்

மருத்துவம் - மருந்துச் செறிவு

காலப்போக்கில் இரத்த ஓட்டத்தில் மருந்து அளவுகள்

சமன்பாடு: C(t) = -at² + bt + c

மாறிகள்: C = செறிவு, t = நிர்வாகத்திற்குப் பிறகான நேரம்

சிக்கல்: உகந்த அளவு இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்

இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது பொதுவான தவறுகள்

தவறு: இருபடிச் சூத்திரத்தில் ± ஐ மறந்துவிடுதல்

சிக்கல்:

தீர்வு: பண்புகாட்டி > 0 ஆக இருக்கும்போது எப்போதும் + மற்றும் - இரண்டையும் சேர்க்கவும்

எடுத்துக்காட்டு: x² - 5x + 6 = 0 க்கு, x = 2 மற்றும் x = 3 இரண்டுமே தீர்வுகள்

தவறு: a = 0 என அமைத்தல்

சிக்கல்:

தீர்வு: இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு x² இன் கெழுக் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருப்பதை உறுதிசெய்யவும்

எடுத்துக்காட்டு: 0x² + 3x + 2 = 0 என்பது உண்மையில் 3x + 2 = 0, ஒரு நேரியல் சமன்பாடு

தவறு: எதிர்மறை எண்களுடன் எண்கணிதப் பிழைகள்

சிக்கல்:

தீர்வு: எதிர்மறைக் குறிகளை கவனமாகக் கண்காணிக்கவும், குறிப்பாக b² மற்றும் -4ac உடன்

எடுத்துக்காட்டு: x² - 6x + 9 க்கு, பண்புகாட்டி (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0

தவறு: சிக்கலான தீர்வுகளைத் தவறாகப் புரிந்துகொள்ளுதல்

சிக்கல்:

தீர்வு: சிக்கலான தீர்வுகள் கணிதத்தில் செல்லுபடியாகும், அவை மெய்யான எண்கள் அல்ல

எடுத்துக்காட்டு: x² + 1 = 0 க்கு தீர்வுகள் x = ±i, அவை சிக்கலான எண்கள்

தவறு: செயல்பாடுகளின் தவறான வரிசை

சிக்கல்:

தீர்வு: b² - 4ac ஐ நினைவில் கொள்க: முதலில் b ஐ வர்க்கப்படுத்தி, பின்னர் 4ac ஐக் கழிக்கவும்

எடுத்துக்காட்டு: 2x² + 3x + 1 க்கு, பண்புகாட்டி 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

தவறு: மிக விரைவில் округление

சிக்கல்:

தீர்வு: இறுதி பதில் வரை முழு துல்லியத்தை வைத்து, பின்னர் பொருத்தமாக округление செய்யவும்

எடுத்துக்காட்டு: இருபடிச் சூத்திரத்தில் முழு பண்புகாட்டி மதிப்பைப் பயன்படுத்தவும், அதன் округление பதிப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்

சிறப்பு வழக்குகள் மற்றும் வடிவங்கள்

முழு வர்க்க மும்மைகள்

வடிவம்: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²

எடுத்துக்காட்டு: x² - 6x + 9 = (x - 3)²

தீர்வு: ஒரு மீண்டும் வரும் மூலம்: x = 3

அடையாளம் காணுதல்: பண்புகாட்டி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்

வர்க்கங்களின் வேறுபாடு

வடிவம்: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)

எடுத்துக்காட்டு: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)

தீர்வு: இரண்டு எதிர் மூலங்கள்: x = ±4

அடையாளம் காணுதல்: நேரியல் உறுப்பு இல்லை (b = 0), எதிர்மறை மாறிலி

காணாமல் போன நேரியல் உறுப்பு

வடிவம்: ax² + c = 0

எடுத்துக்காட்டு: 2x² - 8 = 0

தீர்வு: x² = 4, எனவே x = ±2

அடையாளம் காணுதல்: x² மற்றும் மாறிலி உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன

காணாமல் போன மாறிலி உறுப்பு

வடிவம்: ax² + bx = 0 = x(ax + b)

எடுத்துக்காட்டு: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)

தீர்வு: x = 0 அல்லது x = 2

அடையாளம் காணுதல்: முதலில் x ஐக் காரணிப்படுத்தவும்

இருபடிச் சமன்பாடு அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

ஒரு சமன்பாட்டை இருபடியாக்குவது எது?

மாறியின் மிக உயர்ந்த படி 2 ஆகவும், x² இன் கெழுக் பூஜ்ஜியமற்றதாகவும் இருந்தால் ஒரு சமன்பாடு இருபடியாகும். அது ax² + bx + c = 0 வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் இல்லாமல் இருக்க முடியுமா?

இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு எப்போதும் சரியாக 2 தீர்வுகள் இருக்கும், ஆனால் பண்புகாட்டி எதிர்மறையாக இருக்கும்போது அவை சிக்கலான எண்களாக இருக்கலாம். மெய்யான எண்களில், Δ < 0 ஆக இருக்கும்போது தீர்வுகள் இல்லை.

ஏன் சில நேரங்களில் இரண்டு தீர்வுகளுக்குப் பதிலாக ஒரு தீர்வு கிடைக்கிறது?

பண்புகாட்டி = 0 ஆக இருக்கும்போது, ஒரு மீண்டும் வரும் தீர்வு (இரட்டை மூலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) கிடைக்கிறது. கணிதப்படி, அது இன்னும் இரண்டு தீர்வுகள் தான், அவை சமமாக அமைந்துவிட்டன.

பண்புகாட்டி நமக்கு என்ன சொல்கிறது?

பண்புகாட்டி (b² - 4ac) தீர்வுகளின் வகைகளைத் தீர்மானிக்கிறது: நேர்மறை = இரண்டு மெய்யான தீர்வுகள், பூஜ்ஜியம் = ஒரு மீண்டும் வரும் தீர்வு, எதிர்மறை = இரண்டு சிக்கலான தீர்வுகள்.

எந்த முறையைப் பயன்படுத்துவது என்று எனக்கு எப்படித் தெரியும்?

இருபடிச் சூத்திரம் எப்போதும் வேலை செய்யும். சமன்பாடு எளிதாகக் காரணிப்படுத்தப்பட்டால் காரணிப்படுத்துதலைப் பயன்படுத்தவும். புரிந்துகொள்ள அல்லது உச்சி வடிவத்திற்கு மாற்ற வர்க்கப் பூர்த்தி செய்தலைப் பயன்படுத்தவும்.

என் கெழுக் 'a' எதிர்மறையாக இருந்தால் என்ன செய்வது?

சிக்கல் இல்லை! இருபடிச் சூத்திரம் எதிர்மறைக் கெழுக்களைக் கையாளுகிறது. பண்புகாட்டியைக் கணக்கிடும்போது மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும்போது குறிகளில் கவனமாக இருங்கள்.

இருபடிச் சூத்திரம் இல்லாமல் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க முடியுமா?

ஆம்! நீங்கள் காரணிப்படுத்தலாம் (முடிந்தால்), வர்க்கப் பூர்த்தி செய்யலாம், அல்லது வரைபடம் வரையலாம். இருப்பினும், இருபடிச் சூத்திரம் மிகவும் நம்பகமான உலகளாவிய முறையாகும்.

சிக்கலான தீர்வுகள் எதற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன?

சிக்கலான தீர்வுகள் பொறியியல், இயற்பியல், மற்றும் மேம்பட்ட கணிதத்தில் தோன்றும். அவை அன்றாட அர்த்தத்தில் 'மெய்யானவை' அல்ல என்றாலும் முக்கியமான கணித உறவுகளைக் குறிக்கின்றன.

முழுமையான கருவி அடைவு

UNITS-ல் கிடைக்கும் அனைத்து 71 கருவிகளும்

வடிகட்ட:
வகைகள்: