حاسبة المعادلات التربيعية
حل المعادلات التربيعية ax² + bx + c = 0 مع حلول مفصلة خطوة بخطوة وتحليل بياني
كيفية استخدام حاسبة المعادلات التربيعية
- أدخل المعاملات a و b و c لمعادلتك التربيعية ax² + bx + c = 0
- لاحظ أن المعامل 'a' لا يمكن أن يكون صفرًا (وإلا فهي ليست معادلة تربيعية)
- استخدم أزرار الأمثلة لتجربة أنواع مختلفة من المعادلات التربيعية
- شاهد عرض المعادلة المباشر لترى معادلتك منسقة بشكل صحيح
- تحقق من المميز لفهم نوع الحلول المتوقعة
- راجع الحل خطوة بخطوة لفهم عملية الحل
- افحص الرأس ومحور التماثل للفهم البياني
فهم المعادلات التربيعية
المعادلة التربيعية هي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية، تكتب بالشكل القياسي ax² + bx + c = 0، حيث a ≠ 0.
المعامل 'a'
معامل x². يحدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى (a > 0) أو لأسفل (a < 0).
Importance: لا يمكن أن يكون صفرًا. كلما كانت |a| أكبر، كان القطع المكافئ أضيق.
المعامل 'b'
معامل x. يؤثر على الموضع الأفقي للرأس ومحور التماثل.
Importance: يمكن أن يكون صفرًا. بالاشتراك مع 'a'، يحدد إحداثي x للرأس: x = -b/(2a).
المعامل 'c'
الحد الثابت. يمثل تقاطع القطع المكافئ مع المحور y (حيث يقطع المحور y).
Importance: يمكن أن يكون صفرًا. النقطة (0, c) هي حيث يتقاطع القطع المكافئ مع المحور y.
الصيغة التربيعية
الصيغة التربيعية هي طريقة عالمية لحل أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0.
Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Discriminant: Δ = b² - 4ac
المميز (Δ) يحدد طبيعة وعدد الحلول
-b
سالب المعامل b
Purpose: يُمركز الحلول حول محور التماثل
±√Δ
زائد/ناقص الجذر التربيعي للمميز
Purpose: يحدد مدى بعد الحلول عن المركز
2a
ضعف المعامل الرئيسي
Purpose: يضبط مقياس الحلول بناءً على عرض القطع المكافئ
فهم المميز
المميز Δ = b² - 4ac يخبرنا عن طبيعة الحلول قبل حسابها.
Δ > 0
النتيجة: حلان حقيقيان مختلفان
القطع المكافئ يقطع المحور x في نقطتين. الحلول هي أعداد حقيقية.
مثال: x² - 5x + 6 = 0 لديها Δ = 25 - 24 = 1 > 0، لذلك يوجد حلان حقيقيان.
بيانياً: القطع المكافئ يتقاطع مع المحور x مرتين
Δ = 0
النتيجة: حل حقيقي واحد مكرر
القطع المكافئ يلامس المحور x في نقطة واحدة بالضبط (الرأس على المحور x).
مثال: x² - 4x + 4 = 0 لديها Δ = 16 - 16 = 0، لذلك يوجد حل واحد مكرر x = 2.
بيانياً: القطع المكافئ يلامس المحور x عند الرأس
Δ < 0
النتيجة: حلان مركبان
القطع المكافئ لا يقطع المحور x. الحلول تتضمن أعدادًا تخيلية.
مثال: x² + 2x + 5 = 0 لديها Δ = 4 - 20 = -16 < 0، لذلك توجد حلول مركبة.
بيانياً: القطع المكافئ لا يتقاطع مع المحور x
طرق حل المعادلات التربيعية
الصيغة التربيعية
متى تستخدم: تعمل دائمًا لأي معادلة تربيعية
الخطوات:
- حدد a و b و c
- احسب المميز Δ = b² - 4ac
- طبق الصيغة x = (-b ± √Δ)/(2a)
المزايا: طريقة عالمية، تظهر المميز
العيوب: قد تتضمن حسابات معقدة
التحليل إلى عوامل
متى تستخدم: عندما يمكن تحليل المعادلة بسهولة
الخطوات:
- حلل ax² + bx + c إلى (px + q)(rx + s)
- اجعل كل عامل يساوي صفرًا
- حل px + q = 0 و rx + s = 0
المزايا: سريعة عندما يكون التحليل واضحًا
العيوب: ليست كل المعادلات التربيعية قابلة للتحليل بسهولة
إكمال المربع
متى تستخدم: عند التحويل إلى شكل الرأس أو اشتقاق الصيغة التربيعية
الخطوات:
- أعد الترتيب إلى x² + (b/a)x = -c/a
- أضف (b/2a)² إلى كلا الطرفين
- حلل الطرف الأيسر كمربع كامل
المزايا: يظهر شكل الرأس، جيد للفهم
العيوب: خطوات أكثر من الصيغة التربيعية
الرسم البياني
متى تستخدم: للفهم البصري أو الحلول التقريبية
الخطوات:
- ارسم القطع المكافئ y = ax² + bx + c
- ابحث عن تقاطعات المحور x حيث y = 0
- اقرأ الحلول من الرسم البياني
المزايا: بصري، يظهر جميع الخصائص
العيوب: قد لا يعطي قيمًا دقيقة
تطبيقات المعادلات التربيعية في العالم الحقيقي
الفيزياء - حركة المقذوفات
ارتفاع الأجسام المقذوفة يتبع معادلات تربيعية
المعادلة: h(t) = -16t² + v₀t + h₀
المتغيرات: h = الارتفاع، t = الزمن، v₀ = السرعة الابتدائية، h₀ = الارتفاع الابتدائي
المسألة: متى يصطدم المقذوف بالأرض؟ (حل لـ t عندما h = 0)
الأعمال - تحسين الأرباح
الإيرادات والأرباح غالبًا ما تتبع نماذج تربيعية
المعادلة: P(x) = -ax² + bx - c
المتغيرات: P = الربح، x = الكمية المباعة، تعتمد المعاملات على التكاليف
المسألة: أوجد الكمية التي تعظم الربح (رأس القطع المكافئ)
الهندسة - تصميم الجسور
الأقواس المكافئة توزع الوزن بكفاءة
المعادلة: y = ax² + bx + c
المتغيرات: يصف منحنى كابلات الجسور المعلقة
المسألة: صمم شكل الكابل لتوزيع الحمل الأمثل
الزراعة - تحسين المساحة
تعظيم المساحة بمحيط ثابت
المعادلة: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x
المتغيرات: A = المساحة، x = العرض، P = السياج المتاح
المسألة: أوجد الأبعاد التي تعظم المساحة المغلقة
التكنولوجيا - معالجة الإشارات
المعادلات التربيعية في المرشحات الرقمية وتصميم الهوائيات
المعادلة: أشكال مختلفة حسب التطبيق
المتغيرات: استجابة التردد، قوة الإشارة، التوقيت
المسألة: تحسين جودة الإشارة وتقليل التداخل
الطب - تركيز الدواء
مستويات الدواء في مجرى الدم بمرور الوقت
المعادلة: C(t) = -at² + bt + c
المتغيرات: C = التركيز، t = الزمن بعد الإعطاء
المسألة: تحديد فترات الجرعات المثلى
الأخطاء الشائعة عند حل المعادلات التربيعية
خطأ: نسيان ± في الصيغة التربيعية
المسألة: إيجاد حل واحد فقط عندما يوجد حلان
الحل: قم دائمًا بتضمين كل من + و - عندما يكون المميز > 0
مثال: بالنسبة لـ x² - 5x + 6 = 0، كلا x = 2 و x = 3 هما حلان
خطأ: جعل a = 0
المسألة: تصبح المعادلة خطية، وليست تربيعية
الحل: تأكد من أن معامل x² غير صفري للمعادلات التربيعية
مثال: 0x² + 3x + 2 = 0 هي في الواقع 3x + 2 = 0، معادلة خطية
خطأ: أخطاء حسابية مع الأعداد السالبة
المسألة: أخطاء في الإشارة عند حساب المميز أو تطبيق الصيغة
الحل: تتبع الإشارات السالبة بعناية، خاصة مع b² و -4ac
مثال: بالنسبة لـ x² - 6x + 9، المميز هو (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
خطأ: سوء تفسير الحلول المركبة
المسألة: الاعتقاد بأن المعادلة ليس لها حلول عندما يكون المميز < 0
الحل: الحلول المركبة صالحة في الرياضيات، هي فقط ليست أعدادًا حقيقية
مثال: x² + 1 = 0 لها حلول x = ±i، وهي أعداد مركبة
خطأ: ترتيب العمليات غير الصحيح
المسألة: حساب المميز بشكل غير صحيح
الحل: تذكر b² - 4ac: قم بتربيع b أولاً، ثم اطرح 4ac
مثال: بالنسبة لـ 2x² + 3x + 1، المميز هو 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
خطأ: التقريب مبكرًا جدًا
المسألة: أخطاء التقريب المتراكمة في الحسابات متعددة الخطوات
الحل: حافظ على الدقة الكاملة حتى الإجابة النهائية، ثم قم بالتقريب بشكل مناسب
مثال: استخدم قيمة المميز الكاملة في الصيغة التربيعية، وليس النسخة المقربة
حالات خاصة وأنماط
ثلاثيات الحدود المربعة الكاملة
الشكل: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²
مثال: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
الحل: جذر واحد مكرر: x = 3
التعرف: المميز يساوي صفرًا
فرق مربعين
الشكل: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)
مثال: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)
الحل: جذران متعاكسان: x = ±4
التعرف: لا يوجد حد خطي (b = 0)، ثابت سالب
حد خطي مفقود
الشكل: ax² + c = 0
مثال: 2x² - 8 = 0
الحل: x² = 4، لذا x = ±2
التعرف: يوجد فقط حدي x² والثابت
حد ثابت مفقود
الشكل: ax² + bx = 0 = x(ax + b)
مثال: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)
الحل: x = 0 أو x = 2
التعرف: حلل x كعامل مشترك أولاً
الأسئلة الشائعة حول المعادلة التربيعية
ما الذي يجعل المعادلة تربيعية؟
تكون المعادلة تربيعية إذا كانت أعلى قوة للمتغير هي 2، ومعامل x² ليس صفرًا. يجب أن تكون على الشكل ax² + bx + c = 0.
هل يمكن أن لا يكون للمعادلة التربيعية حلول؟
للمعادلات التربيعية دائمًا حلان بالضبط، ولكنهما قد يكونان أعدادًا مركبة عندما يكون المميز سالبًا. في الأعداد الحقيقية، لا توجد حلول عندما يكون Δ < 0.
لماذا نحصل أحيانًا على حل واحد بدلاً من اثنين؟
عندما يكون المميز = 0، نحصل على حل واحد مكرر (يسمى جذر مزدوج). رياضيًا، لا يزالان حلين تصادف أنهما متساويان.
ماذا يخبرنا المميز؟
المميز (b² - 4ac) يحدد أنواع الحلول: موجب = حلان حقيقيان، صفر = حل واحد مكرر، سالب = حلان مركبان.
كيف أعرف الطريقة التي يجب استخدامها؟
الصيغة التربيعية تعمل دائمًا. استخدم التحليل إلى عوامل إذا كانت المعادلة سهلة التحليل. استخدم إكمال المربع للفهم أو للتحويل إلى شكل الرأس.
ماذا لو كان معاملي 'a' سالبًا؟
لا مشكلة! تتعامل الصيغة التربيعية مع المعاملات السالبة. فقط كن حذرًا مع الإشارات عند حساب المميز وتطبيق الصيغة.
هل يمكنني حل المعادلات التربيعية بدون الصيغة التربيعية؟
نعم! يمكنك التحليل إلى عوامل (عندما يكون ذلك ممكنًا)، أو إكمال المربع، أو الرسم البياني. ومع ذلك، فإن الصيغة التربيعية هي الطريقة العالمية الأكثر موثوقية.
فيما تستخدم الحلول المركبة؟
تظهر الحلول المركبة في الهندسة والفيزياء والرياضيات المتقدمة. إنها تمثل علاقات رياضية مهمة حتى لو لم تكن 'حقيقية' بالمعنى اليومي.
دليل الأدوات الكامل
كل الأدوات البالغ عددها 71 متاحة على UNITS