Kikokotoo cha Mlinganyo wa Kuadratiki

Tatua milinganyo ya kuadratiki ax² + bx + c = 0 kwa ufumbuzi wa hatua kwa hatua na uchambuzi wa kielelezo

Jinsi ya Kutumia Kikokotoo cha Mlinganyo wa Kuadratiki

  1. Weka vizigeu a, b, na c kwa mlinganyo wako wa kuadratiki ax² + bx + c = 0
  2. Kumbuka kwamba kizigeu 'a' hakiwezi kuwa sifuri (vinginevyo siyo kuadratiki)
  3. Tumia vitufe vya mifano kujaribu aina tofauti za milinganyo ya kuadratiki
  4. Tazama onyesho la mlinganyo moja kwa moja ili kuona mlinganyo wako umepangiliwa vizuri
  5. Angalia kibaguzi ili kuelewa aina ya majibu unayotarajia
  6. Pitia ufumbuzi wa hatua kwa hatua ili kuelewa mchakato wa kutatua
  7. Chunguza ncha na mhimili wa ulinganifu kwa uelewa wa kielelezo

Kuelewa Milinganyo ya Kuadratiki

Mlinganyo wa kuadratiki ni mlinganyo wa polinomiali wa daraja la 2, ulioandikwa katika muundo wa kawaida ax² + bx + c = 0, ambapo a ≠ 0.

Kizigeu 'a'

Kizigeu cha x². Huamua kama parabola inafunguka juu (a > 0) au chini (a < 0).

Importance: Hakiwezi kuwa sifuri. |a| kubwa zaidi hufanya parabola kuwa nyembamba zaidi.

Kizigeu 'b'

Kizigeu cha x. Huathiri nafasi ya mlalo ya ncha na mhimili wa ulinganifu.

Importance: Kinaweza kuwa sifuri. Kikiunganishwa na 'a', huamua kuratibu ya x ya ncha: x = -b/(2a).

Kizigeu 'c'

Kiwango cha kudumu. Huwakilisha makutano ya y ya parabola (pale inapokata mhimili wa y).

Importance: Kinaweza kuwa sifuri. Nukta (0, c) ni pale parabola inapokata mhimili wa y.

Fomula ya Kuadratiki

Fomula ya kuadratiki ni njia ya jumla ya kutatua mlinganyo wowote wa kuadratiki ax² + bx + c = 0.

Δ = b² - 4ac

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Discriminant: Δ = b² - 4ac

Kibaguzi (Δ) huamua asili na idadi ya majibu

-b

Hasi ya kizigeu b

Purpose: Huweka majibu katikati kuzunguka mhimili wa ulinganifu

±√Δ

Jumlisha/toa kipeuo cha pili cha kibaguzi

Purpose: Huamua umbali wa majibu kutoka katikati

2a

Mara mbili ya kizigeu kikuu

Purpose: Hupima majibu kulingana na upana wa parabola

Kuelewa Kibaguzi

Kibaguzi Δ = b² - 4ac hutueleza kuhusu asili ya majibu kabla hatujayakokotoa.

Δ > 0

Matokeo: Majibu mawili halisi tofauti

Parabola hukata mhimili wa x katika nukta mbili. Majibu ni namba halisi.

Mfano: x² - 5x + 6 = 0 ina Δ = 25 - 24 = 1 > 0, kwa hivyo kuna majibu mawili halisi.

Kielelezo: Parabola hukata mhimili wa x mara mbili

Δ = 0

Matokeo: Jibu moja halisi linalojirudia

Parabola hugusa mhimili wa x katika nukta moja tu (ncha ipo kwenye mhimili wa x).

Mfano: x² - 4x + 4 = 0 ina Δ = 16 - 16 = 0, kwa hivyo kuna jibu moja linalojirudia x = 2.

Kielelezo: Parabola hugusa mhimili wa x kwenye ncha

Δ < 0

Matokeo: Majibu mawili changamano

Parabola haikati mhimili wa x. Majibu yanahusisha namba za kuwazia.

Mfano: x² + 2x + 5 = 0 ina Δ = 4 - 20 = -16 < 0, kwa hivyo kuna majibu changamano.

Kielelezo: Parabola haikati mhimili wa x

Njia za Kutatua Milinganyo ya Kuadratiki

Fomula ya Kuadratiki

Wakati wa kutumia: Daima hufanya kazi kwa mlinganyo wowote wa kuadratiki

Hatua:

  1. Tambua a, b, c
  2. Kokotoa kibaguzi Δ = b² - 4ac
  3. Tumia fomula x = (-b ± √Δ)/(2a)

Faida: Njia ya jumla, inaonyesha kibaguzi

Hasara: Inaweza kuhusisha hesabu ngumu

Ufanyaji Vipeuo

Wakati wa kutumia: Wakati mlinganyo unaweza kufanywa vipeuo kwa urahisi

Hatua:

  1. Fanya ax² + bx + c kuwa vipeuo (px + q)(rx + s)
  2. Weka kila kipeuo kuwa sawa na sifuri
  3. Tatua px + q = 0 na rx + s = 0

Faida: Haraka wakati ufanyaji vipeuo ni dhahiri

Hasara: Siyo milinganyo yote ya kuadratiki inayoweza kufanywa vipeuo vizuri

Ukamilishaji Mraba

Wakati wa kutumia: Wakati wa kubadilisha kuwa fomu ya ncha au kupata fomula ya kuadratiki

Hatua:

  1. Panga upya kuwa x² + (b/a)x = -c/a
  2. Ongeza (b/2a)² pande zote mbili
  3. Fanya upande wa kushoto kuwa kipeuo cha mraba kamili

Faida: Inaonyesha fomu ya ncha, nzuri kwa uelewa

Hasara: Hatua nyingi zaidi kuliko fomula ya kuadratiki

Uchoraji Grafu

Wakati wa kutumia: Kwa uelewa wa kuona au majibu ya kukadiria

Hatua:

  1. Chora parabola y = ax² + bx + c
  2. Pata makutano ya x ambapo y = 0
  3. Soma majibu kutoka kwenye grafu

Faida: Ya kuona, inaonyesha sifa zote

Hasara: Huenda isitoe thamani kamili

Matumizi ya Milinganyo ya Kuadratiki katika Maisha Halisi

Fizikia - Mwendo wa Mrusho

Urefu wa vitu vilivyorushwa hufuata milinganyo ya kuadratiki

Mlinganyo: h(t) = -16t² + v₀t + h₀

Vigezo: h = urefu, t = muda, v₀ = kasi ya awali, h₀ = urefu wa awali

Tatizo: Mrusho utagonga ardhi lini? (tatua kwa t wakati h = 0)

Biashara - Uboreshaji wa Faida

Mapato na faida mara nyingi hufuata mifumo ya kuadratiki

Mlinganyo: P(x) = -ax² + bx - c

Vigezo: P = faida, x = idadi iliyouzwa, vizigeu hutegemea gharama

Tatizo: Pata idadi inayoongeza faida zaidi (ncha ya parabola)

Uhandisi - Ubunifu wa Madaraja

Tao za parabola husambaza uzito kwa ufanisi

Mlinganyo: y = ax² + bx + c

Vigezo: Huelezea mzingo wa nyaya za daraja la kuning'inia

Tatizo: Buni umbo la kebo kwa usambazaji bora wa mzigo

Kilimo - Uboreshaji wa Eneo

Kuongeza eneo kwa mzingo usiobadilika

Mlinganyo: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x

Vigezo: A = eneo, x = upana, P = uzio uliopo

Tatizo: Pata vipimo vinavyoongeza eneo lililozingirwa

Teknolojia - Uchakataji wa Ishara

Milinganyo ya kuadratiki katika vichujio vya dijiti na ubunifu wa antena

Mlinganyo: Aina mbalimbali kulingana na matumizi

Vigezo: Mwitikio wa masafa, nguvu ya ishara, muda

Tatizo: Boresha ubora wa ishara na punguza mwingiliano

Tiba - Mkusanyiko wa Dawa

Viwango vya dawa katika mkondo wa damu kwa muda

Mlinganyo: C(t) = -at² + bt + c

Vigezo: C = mkusanyiko, t = muda baada ya kutumia

Tatizo: Bainisha vipindi bora vya matumizi ya dawa

Makosa ya Kawaida Wakati wa Kutatua Milinganyo ya Kuadratiki

KOSA: Kusahau ± katika fomula ya kuadratiki

Tatizo: Kupata jibu moja tu wakati yapo mawili

Jibu: Daima jumuisha + na - wakati kibaguzi > 0

Mfano: Kwa x² - 5x + 6 = 0, x = 2 na x = 3 yote ni majibu

KOSA: Kuweka a = 0

Tatizo: Mlinganyo unakuwa wa mstari, siyo wa kuadratiki

Jibu: Hakikisha kizigeu cha x² si sifuri kwa milinganyo ya kuadratiki

Mfano: 0x² + 3x + 2 = 0 kwa kweli ni 3x + 2 = 0, mlinganyo wa mstari

KOSA: Makosa ya hesabu na namba hasi

Tatizo: Makosa ya alama wakati wa kukokotoa kibaguzi au kutumia fomula

Jibu: Fuatilia kwa makini alama hasi, hasa kwa b² na -4ac

Mfano: Kwa x² - 6x + 9, kibaguzi ni (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0

KOSA: Tafsiri potofu ya majibu changamano

Tatizo: Kufikiria mlinganyo hauna majibu wakati kibaguzi < 0

Jibu: Majibu changamano ni halali katika hisabati, hayapo katika namba halisi

Mfano: x² + 1 = 0 ina majibu x = ±i, ambayo ni namba changamano

KOSA: Mpangilio usio sahihi wa vitendo

Tatizo: Kukokotoa kibaguzi isivyo sahihi

Jibu: Kumbuka b² - 4ac: weka b katika mraba kwanza, kisha toa 4ac

Mfano: Kwa 2x² + 3x + 1, kibaguzi ni 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

KOSA: Kuzungusha mapema mno

Tatizo: Makosa ya kuzungusha yaliyojilimbikiza katika hesabu za hatua nyingi

Jibu: Weka usahihi kamili hadi jibu la mwisho, kisha zungusha ipasavyo

Mfano: Tumia thamani kamili ya kibaguzi katika fomula ya kuadratiki, siyo toleo lililozungushwa

Kesi Maalum na Mitindo

Trinomiali za Mraba Kamili

Fomu: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²

Mfano: x² - 6x + 9 = (x - 3)²

Jibu: Mzizi mmoja unaojirudia: x = 3

Utambuzi: Kibaguzi ni sawa na sifuri

Tofauti ya Miraba

Fomu: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)

Mfano: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)

Jibu: Mizizi miwili kinyume: x = ±4

Utambuzi: Hakuna muhula wa mstari (b = 0), kiwango hasi

Muhula wa Mstari Unaokosekana

Fomu: ax² + c = 0

Mfano: 2x² - 8 = 0

Jibu: x² = 4, kwa hiyo x = ±2

Utambuzi: Muhula wa x² na wa kudumu tu ndio upo

Muhula wa Kudumu Unaokosekana

Fomu: ax² + bx = 0 = x(ax + b)

Mfano: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)

Jibu: x = 0 au x = 2

Utambuzi: Toa x nje kwanza

Maswali Yanayoulizwa Mara kwa Mara kuhusu Mlinganyo wa Kuadratiki

Ni nini hufanya mlinganyo kuwa wa kuadratiki?

Mlinganyo ni wa kuadratiki ikiwa kipeo cha juu cha kigezo ni 2, na kizigeu cha x² si sifuri. Lazima uwe katika fomu ax² + bx + c = 0.

Je, mlinganyo wa kuadratiki unaweza kukosa majibu?

Milinganyo ya kuadratiki daima ina majibu 2 hasa, lakini yanaweza kuwa namba changamano wakati kibaguzi ni hasi. Katika namba halisi, hakuna majibu wakati Δ < 0.

Kwa nini wakati mwingine tunapata jibu moja badala ya mawili?

Wakati kibaguzi = 0, tunapata jibu moja linalojirudia (linaitwa mzizi maradufu). Kihisabati, bado ni majibu mawili ambayo yametokea kuwa sawa.

Kibaguzi kinatuambia nini?

Kibaguzi (b² - 4ac) huamua aina za majibu: chanya = majibu mawili halisi, sifuri = jibu moja linalojirudia, hasi = majibu mawili changamano.

Nitajuaje njia gani ya kutumia?

Fomula ya kuadratiki daima hufanya kazi. Tumia ufanyaji vipeuo ikiwa mlinganyo unaweza kufanywa vipeuo kwa urahisi. Tumia ukamilishaji mraba kwa uelewa au kubadilisha kuwa fomu ya ncha.

Je, ikiwa kizigeu changu 'a' ni hasi?

Hakuna shida! Fomula ya kuadratiki inashughulikia vizigeu hasi. Kuwa mwangalifu tu na alama wakati wa kukokotoa kibaguzi na kutumia fomula.

Je, naweza kutatua milinganyo ya kuadratiki bila fomula ya kuadratiki?

Ndiyo! Unaweza kufanya vipeuo (inapowezekana), kukamilisha mraba, au kuchora grafu. Hata hivyo, fomula ya kuadratiki ndiyo njia ya uhakika zaidi ya jumla.

Majibu changamano hutumika kwa nini?

Majibu changamano huonekana katika uhandisi, fizikia, na hisabati ya juu. Yanawakilisha uhusiano muhimu wa kihisabati hata kama siyo 'halisi' kwa maana ya kila siku.

Saraka Kamili ya Zana

Zana zote 71 zinazopatikana kwenye UNITS

Chuja kwa:
Kategoria: