गुणांक 'a'

x² का गुणांक। यह निर्धारित करता है कि परवलय ऊपर की ओर (a > 0) या नीचे की ओर (a < 0) खुलता है।

Importance: शून्य नहीं हो सकता। बड़ा |a| परवलय को संकीर्ण बनाता है।

गुणांक 'b'

x का गुणांक। यह शीर्ष और सममिति अक्ष की क्षैतिज स्थिति को प्रभावित करता है।

Importance: शून्य हो सकता है। 'a' के साथ मिलकर, यह शीर्ष के x-निर्देशांक को निर्धारित करता है: x = -b/(2a)।

गुणांक 'c'

स्थिर पद। यह परवलय के y-अक्ष प्रतिच्छेद (जहाँ यह y-अक्ष को पार करता है) का प्रतिनिधित्व करता है।

Importance: शून्य हो सकता है। बिंदु (0, c) वह जगह है जहाँ परवलय y-अक्ष को काटता है।

-b

गुणांक b का ऋणात्मक

Purpose: समाधानों को सममिति अक्ष के चारों ओर केंद्रित करता है

±√Δ

विविक्तकर के वर्गमूल का प्लस/माइनस

Purpose: यह निर्धारित करता है कि समाधान केंद्र से कितनी दूर हैं

2a

अग्रणी गुणांक का दोगुना

Purpose: परवलय की चौड़ाई के आधार पर समाधानों को मापता है

भौतिकी - प्रक्षेप्य गति

फेंकी गई वस्तुओं की ऊँचाई द्विघात समीकरणों का पालन करती है

समीकरण: h(t) = -16t² + v₀t + h₀

चर: h = ऊँचाई, t = समय, v₀ = प्रारंभिक वेग, h₀ = प्रारंभिक ऊँचाई

समस्या: प्रक्षेप्य जमीन पर कब टकराएगा? (जब h = 0 हो तो t के लिए हल करें)

व्यवसाय - लाभ अधिकतमकरण

राजस्व और लाभ अक्सर द्विघात मॉडल का पालन करते हैं

समीकरण: P(x) = -ax² + bx - c

चर: P = लाभ, x = बेची गई मात्रा, गुणांक लागत पर निर्भर करते हैं

समस्या: वह मात्रा ज्ञात करें जो लाभ को अधिकतम करती है (परवलय का शीर्ष)

इंजीनियरिंग - पुल डिजाइन

परवलयिक मेहराब वजन को कुशलता से वितरित करते हैं

समीकरण: y = ax² + bx - c

चर: निलंबन पुल केबलों के वक्र का वर्णन करता है

समस्या: इष्टतम भार वितरण के लिए केबल आकार डिजाइन करें

कृषि - क्षेत्र अधिकतमकरण

एक निश्चित परिधि के साथ क्षेत्र को अधिकतम करना

समीकरण: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x

चर: A = क्षेत्र, x = चौड़ाई, P = उपलब्ध बाड़

समस्या: संलग्न क्षेत्र को अधिकतम करने वाले आयाम ज्ञात करें

प्रौद्योगिकी - सिग्नल प्रोसेसिंग

डिजिटल फिल्टर और एंटीना डिजाइन में द्विघात समीकरण

समीकरण: आवेदन के आधार पर विभिन्न रूप

चर: आवृत्ति प्रतिक्रिया, सिग्नल की शक्ति, समय

समस्या: सिग्नल की गुणवत्ता को अनुकूलित करें और हस्तक्षेप को कम करें

चिकित्सा - दवा एकाग्रता

समय के साथ रक्तप्रवाह में दवा का स्तर

समीकरण: C(t) = -at² + bt + c

चर: C = एकाग्रता, t = प्रशासन के बाद का समय

समस्या: इष्टतम खुराक अंतराल निर्धारित करें

क्या एक समीकरण को द्विघात बनाता है?

एक समीकरण द्विघात है यदि चर की उच्चतम घात 2 है, और x² का गुणांक शून्य नहीं है। यह ax² + bx + c = 0 के रूप में होना चाहिए।

क्या एक द्विघात समीकरण का कोई समाधान नहीं हो सकता है?

द्विघात समीकरणों के हमेशा ठीक 2 समाधान होते हैं, लेकिन जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है तो वे जटिल संख्याएँ हो सकते हैं। वास्तविक संख्याओं में, जब Δ < 0 हो तो कोई समाधान नहीं होता है।

हम कभी-कभी दो के बजाय एक समाधान क्यों पाते हैं?

जब विविक्तकर = 0, तो हमें एक दोहराया गया समाधान (जिसे दोहरा मूल कहा जाता है) मिलता है। गणितीय रूप से, यह अभी भी दो समाधान हैं जो समान होते हैं।

विविक्तकर हमें क्या बताता है?

विविक्तकर (b² - 4ac) समाधानों के प्रकारों को निर्धारित करता है: धनात्मक = दो वास्तविक समाधान, शून्य = एक दोहराया गया समाधान, ऋणात्मक = दो जटिल समाधान।

मुझे कैसे पता चलेगा कि किस विधि का उपयोग करना है?

द्विघात सूत्र हमेशा काम करता है। यदि समीकरण को आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है तो गुणनखंडन का उपयोग करें। समझने या शीर्ष रूप में परिवर्तित करने के लिए वर्ग को पूरा करने का उपयोग करें।

क्या होगा अगर मेरा गुणांक 'a' ऋणात्मक है?

कोई बात नहीं! द्विघात सूत्र ऋणात्मक गुणांकों को संभालता है। विविक्तकर की गणना करते समय और सूत्र लागू करते समय बस चिह्नों से सावधान रहें।

क्या मैं द्विघात सूत्र के बिना द्विघात समीकरणों को हल कर सकता हूँ?

हाँ! आप गुणनखंड कर सकते हैं (जब संभव हो), वर्ग को पूरा कर सकते हैं, या ग्राफ बना सकते हैं। हालाँकि, द्विघात सूत्र सबसे विश्वसनीय सार्वभौमिक विधि है।

जटिल समाधानों का उपयोग किस लिए किया जाता है?

जटिल समाधान इंजीनियरिंग, भौतिकी और उन्नत गणित में दिखाई देते हैं। वे महत्वपूर्ण गणितीय संबंधों का प्रतिनिधित्व करते हैं, भले ही वे रोजमर्रा के अर्थ में 'वास्तविक' न हों।