Kalkulator Persamaan Kuadrat
Rampungake persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 kanthi solusi langkah-langkah sing rinci lan analisis grafis
Cara Nggunakake Kalkulator Persamaan Kuadrat
- Lebokake koefisien a, b, lan c kanggo persamaan kuadrat sampeyan ax² + bx + c = 0
- Elinga yen koefisien 'a' ora kena nol (yen ora, dudu persamaan kuadrat)
- Gunakake tombol conto kanggo nyoba macem-macem jinis persamaan kuadrat
- Deleng tampilan persamaan langsung kanggo ndeleng persamaan sampeyan diformat kanthi bener
- Priksa diskriminan kanggo mangerteni jinis solusi apa sing dikarepake
- Tinjau solusi langkah-langkah kanggo mangerteni proses ngrampungake
- Priksa puncak lan sumbu simetri kanggo pangerten grafis
Mangerteni Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yaiku persamaan polinomial kanthi derajat 2, sing ditulis ing wujud standar ax² + bx + c = 0, ing endi a ≠ 0.
Koefisien 'a'
Koefisien x². Nemtokake apa parabola mbukak munggah (a > 0) utawa mudhun (a < 0).
Importance: Ora kena nol. |a| sing luwih gedhe nggawe parabola luwih ciut.
Koefisien 'b'
Koefisien x. Ngaruhi posisi horisontal puncak lan sumbu simetri.
Importance: Kena nol. Digabungake karo 'a', iki nemtokake koordinat x puncak: x = -b/(2a).
Koefisien 'c'
Suku tetep. Nggambarake intersep y parabola (ing endi parabola motong sumbu y).
Importance: Kena nol. Titik (0, c) yaiku panggonan parabola motong sumbu y.
Rumus Kuadrat
Rumus kuadrat yaiku cara universal kanggo ngrampungake persamaan kuadrat apa wae ax² + bx + c = 0.
Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Discriminant: Δ = b² - 4ac
Diskriminan (Δ) nemtokake sifat lan jumlah solusi
-b
Negatif saka koefisien b
Purpose: Nggawe solusi dadi pusat ing saubengé sumbu simetri
±√Δ
Tambah/kurang oyod kuadrat saka diskriminan
Purpose: Nemtokake sepira adohé solusi saka pusat
2a
Rong tikel saka koefisien utama
Purpose: Nyetel skala solusi adhedhasar ambané parabola
Mangerteni Diskriminan
Diskriminan Δ = b² - 4ac menehi ngerti babagan sifat solusi sadurunge kita ngitung.
Δ > 0
Asil: Solusi riil loro sing beda
Parabola motong sumbu x ing rong titik. Solusine yaiku wilangan riil.
Conto: x² - 5x + 6 = 0 nduweni Δ = 25 - 24 = 1 > 0, mula ana solusi riil loro.
Sacara Grafis: Parabola motong sumbu x kaping pindho
Δ = 0
Asil: Solusi riil siji sing bola-bali
Parabola ndemek sumbu x ing siji titik (puncak ana ing sumbu x).
Conto: x² - 4x + 4 = 0 nduweni Δ = 16 - 16 = 0, mula ana solusi siji sing bola-bali x = 2.
Sacara Grafis: Parabola ndemek sumbu x ing puncaké
Δ < 0
Asil: Solusi kompleks loro
Parabola ora motong sumbu x. Solusine nglibatake wilangan imajiner.
Conto: x² + 2x + 5 = 0 nduweni Δ = 4 - 20 = -16 < 0, mula ana solusi kompleks.
Sacara Grafis: Parabola ora motong sumbu x
Cara-cara Ngrampungake Persamaan Kuadrat
Rumus Kuadrat
Kapan digunakake: Tansah bisa digunakake kanggo persamaan kuadrat apa wae
Langkah-langkah:
- Identifikasi a, b, c
- Etung diskriminan Δ = b² - 4ac
- Gunakake rumus x = (-b ± √Δ)/(2a)
Kaluwihan: Cara universal, nuduhake diskriminan
Kekurangan: Bisa nglibatake aritmetika sing rumit
Faktorisasi
Kapan digunakake: Nalika persamaan bisa difaktorisasi kanthi gampang
Langkah-langkah:
- Faktorisasi ax² + bx + c dadi (px + q)(rx + s)
- Setel saben faktor dadi nol
- Rampungake px + q = 0 lan rx + s = 0
Kaluwihan: Cepet nalika faktorisasi jelas
Kekurangan: Ora kabeh persamaan kuadrat bisa difaktorisasi kanthi apik
Ngrampungake Kuadrat
Kapan digunakake: Nalika ngowahi dadi wujud puncak utawa nurunake rumus kuadrat
Langkah-langkah:
- Tata ulang dadi x² + (b/a)x = -c/a
- Tambahake (b/2a)² ing loro-lorone
- Faktorisasi sisih kiwa minangka kuadrat sampurna
Kaluwihan: Nuduhake wujud puncak, apik kanggo pangerten
Kekurangan: Luwih akeh langkah tinimbang rumus kuadrat
Nggambar Grafik
Kapan digunakake: Kanggo pangerten visual utawa solusi kira-kira
Langkah-langkah:
- Plot parabola y = ax² + bx + c
- Goleki intersep x ing endi y = 0
- Waca solusi saka grafik
Kaluwihan: Visual, nuduhake kabeh sifat
Kekurangan: Bisa uga ora menehi nilai sing pas
Aplikasi Persamaan Kuadrat ing Donya Nyata
Fisika - Gerak Proyektil
Dhuwuré barang sing dibalangake nuruti persamaan kuadrat
Persamaan: h(t) = -16t² + v₀t + h₀
Variabel: h = dhuwur, t = wektu, v₀ = kacepetan wiwitan, h₀ = dhuwur wiwitan
Masalah: Kapan proyektil bakal ngenani lemah? (rampungake kanggo t nalika h = 0)
Bisnis - Optimisasi Untung
Pendapatan lan untung asring nuruti model kuadrat
Persamaan: P(x) = -ax² + bx - c
Variabel: P = untung, x = jumlah sing didol, koefisien gumantung saka biaya
Masalah: Goleki jumlah sing nggedhekake untung (puncak parabola)
Teknik - Desain Jembatan
Lengkungan parabola nyebarake bobot kanthi efisien
Persamaan: y = ax² + bx - c
Variabel: Nggambarake kurva kabel jembatan gantung
Masalah: Rancang wujud kabel kanggo distribusi beban sing optimal
Pertanian - Optimisasi Area
Nggedhekake area kanthi keliling sing tetep
Persamaan: A = x(P - 2x)/2 = -x² + (P/2)x
Variabel: A = area, x = amba, P = pager sing kasedhiya
Masalah: Goleki ukuran sing nggedhekake area sing dipageri
Teknologi - Pemrosesan Sinyal
Persamaan kuadrat ing filter digital lan desain antena
Persamaan: Macem-macem wujud gumantung saka aplikasi
Variabel: Respon frekuensi, kakuwatan sinyal, wektu
Masalah: Optimisasi kualitas sinyal lan minimalake gangguan
Kedokteran - Konsentrasi Obat
Tingkat obat ing aliran getih sajrone wektu
Persamaan: C(t) = -at² + bt + c
Variabel: C = konsentrasi, t = wektu sawise diwenehi
Masalah: Temtokake interval dosis sing optimal
Kaluputan Umum nalika Ngrampungake Persamaan Kuadrat
KALUPUTAN: Lali ± ing rumus kuadrat
Masalah: Mung nemokake siji solusi nalika ana loro
Solusi: Tansah lebokake + lan - nalika diskriminan > 0
Conto: Kanggo x² - 5x + 6 = 0, x = 2 lan x = 3 loro-lorone solusi
KALUPUTAN: Nyetel a = 0
Masalah: Persamaan dadi linear, dudu kuadrat
Solusi: Pesthekake koefisien x² ora nol kanggo persamaan kuadrat
Conto: 0x² + 3x + 2 = 0 sejatine yaiku 3x + 2 = 0, persamaan linear
KALUPUTAN: Kaluputan aritmetika kanthi wilangan negatif
Masalah: Kaluputan tandha nalika ngitung diskriminan utawa ngetrapake rumus
Solusi: Lacak tandha negatif kanthi ati-ati, utamane kanthi b² lan -4ac
Conto: Kanggo x² - 6x + 9, diskriminane yaiku (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
KALUPUTAN: Salah napsirake solusi kompleks
Masalah: Mikir yen persamaan ora duwe solusi nalika diskriminan < 0
Solusi: Solusi kompleks sah ing matematika, mung dudu wilangan riil
Conto: x² + 1 = 0 duwe solusi x = ±i, sing minangka wilangan kompleks
KALUPUTAN: Urutan operasi sing salah
Masalah: Ngitung diskriminan kanthi ora bener
Solusi: Elinga b² - 4ac: kuadratake b dhisik, banjur kurangi 4ac
Conto: Kanggo 2x² + 3x + 1, diskriminane yaiku 3² - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1
KALUPUTAN: Mbulatake kacepeten
Masalah: Kaluputan mbulatake sing numpuk ing etungan multi-langkah
Solusi: Jaga presisi lengkap nganti jawaban pungkasan, banjur bulakake kanthi pas
Conto: Gunakake nilai diskriminan lengkap ing rumus kuadrat, dudu versi sing dibulatake
Kasus Khusus lan Pola
Trinomial Kuadrat Sampurna
Wujud: a²x² ± 2abx + b² = (ax ± b)²
Conto: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
Solusi: Siji oyod bola-bali: x = 3
Pangenalan: Diskriminan padha karo nol
Selisih Kuadrat
Wujud: a²x² - b² = (ax - b)(ax + b)
Conto: x² - 16 = (x - 4)(x + 4)
Solusi: Oyod loro sing berlawanan: x = ±4
Pangenalan: Ora ana suku linear (b = 0), konstanta negatif
Suku Linear Ilang
Wujud: ax² + c = 0
Conto: 2x² - 8 = 0
Solusi: x² = 4, dadi x = ±2
Pangenalan: Mung suku x² lan konstanta sing ana
Suku Konstan Ilang
Wujud: ax² + bx = 0 = x(ax + b)
Conto: 3x² - 6x = 0 = 3x(x - 2)
Solusi: x = 0 utawa x = 2
Pangenalan: Faktorisasi x dhisik
Pitakonan Umum Persamaan Kuadrat
Apa sing nggawe persamaan dadi kuadrat?
Persamaan dadi kuadrat yen pangkat paling dhuwur saka variabel yaiku 2, lan koefisien x² ora nol. Persamaan kudu ana ing wujud ax² + bx + c = 0.
Apa bisa persamaan kuadrat ora duwe solusi?
Persamaan kuadrat tansah duwe 2 solusi, nanging bisa dadi wilangan kompleks nalika diskriminan negatif. Ing wilangan riil, ora ana solusi nalika Δ < 0.
Napa kita kadang-kadang entuk siji solusi tinimbang loro?
Nalika diskriminan = 0, kita entuk siji solusi sing bola-bali (diarani oyod dobel). Sacara matematis, iku isih solusi loro sing kebetulan padha.
Apa sing diomongake diskriminan marang kita?
Diskriminan (b² - 4ac) nemtokake jinis solusi: positif = solusi riil loro, nol = solusi bola-bali siji, negatif = solusi kompleks loro.
Kepiye aku ngerti cara endi sing kudu digunakake?
Rumus kuadrat tansah bisa digunakake. Gunakake faktorisasi yen persamaan gampang difaktorisasi. Gunakake ngrampungake kuadrat kanggo pangerten utawa konversi menyang wujud puncak.
Kepiye yen koefisien 'a'ku negatif?
Ora masalah! Rumus kuadrat nangani koefisien negatif. Cukup ati-ati karo tandha nalika ngitung diskriminan lan ngetrapake rumus.
Apa aku bisa ngrampungake persamaan kuadrat tanpa rumus kuadrat?
Iya! Sampeyan bisa faktorisasi (yen bisa), ngrampungake kuadrat, utawa nggambar grafik. Nanging, rumus kuadrat minangka cara universal sing paling bisa diandelake.
Kanggo apa solusi kompleks digunakake?
Solusi kompleks katon ing bidang teknik, fisika, lan matematika tingkat lanjut. Dheweke nggambarake hubungan matematis sing penting sanajan ora 'nyata' ing pangertèn saben dina.
Direktori Piranti Lengkap
Kabeh 71 piranti sing kasedhiya ing UNITS